¶
4.1 Experimento, Reglas de conteo y asignación de probabilidad
- Experimento
- Técnicas de conteo
- Asignación de probabilidad
4.2 Eventos y sus probabilidades
4.3 Algunas relaciones básicas de probabilidad
- Complemento de un evento
- Ley de adición
4.4 Probabilidad Condicional
- Eventos independientes
- Ley de multiplicación
4.5 Teorema de Bayes
- Método tabular
4.1 Experimento, Reglas de conteo y asignación de probabilidad¶
La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que un evento ocurra, siendo utilizada como una medida del grado de incertidumbre. Si las probabilidades están disponibles, se puede determinar la posibilidad de ocurrencia de cada evento. Los valores de probabilidad siempre se asignan en una escala de 0 a 1, si esta es cercana a 0 indica que es poco probable que ocurra el evento y una probabilidad cercana a 1 indica que es casi seguro que un evento se produzca y otras probabilidades entre 0 y 1 representan grados de posibilidad de que un evento ocurra.
Experimento¶
El experimento aleatorio es un proceso o evento cuyo resultado no puede predecirse con certeza, teniendo multiples resultados posibles. En cada repetición ocurre un uno y sólo uno de los resultados posibles del experimento. En seguida se listan varios ejemplos de experimentos y sus resultados correspondientes.
| Experimento | Resultado del experimento |
|---|---|
| Lanzamiento de moneda | Cara, Cruz |
| Lanzamiento de dado | 1,2,3,4,5,6 |
| Seleccionar una parte inspeccionarla | Defectuosa, sin defectos |
| Seleccionar una carta de una baraja | 1, 2, 3, ..., 50 |
Cuando se especifican todos los resultados posibles del experimento, el espacio muestral (conjunto de todos los resultados posibles del experimento) de éste se queda definido.
Técnicas de conteo¶
Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas que permiten determinar el número total de resultados que pueden haber a partir de sus combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos. Este tipo de técnicas se utilizan cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual combinaciones de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles.
Las principales técnicas de conteo son las siguientes cinco, aunque no las únicas, cada una con unas particularidades propias y utilizadas en función de los requisitos para saber cuántas combinaciones de conjuntos de objetos son posibles.
1. Principio Multiplicativo¶
Este tipo de técnica de conteo permite comprender fácilmente y de forma práctica cómo funcionan estos métodos matemáticos. Se da el caso que un evento llamado $A$ ocurre de varias formas y otro evento llamado $B$ ocurre de otras formas. Entonces los eventos conjuntamente pueden ocurrir de $AxB$ formas. También se puede dar para varios eventos, no es exclusivo para dos evento, es para $N$ eventos.
Ejemplo: En un restaurante, el menú consiste en un plato principal, un segundo y postre. De platos principales tenemos 4, de segundos hay 5 y de postres hay 3.
Entonces, $E_1 = 4$, $E_2 = 5$ y $E_3 = 3$
Así pues, las combinaciones que ofrece este menú serían $4 * 5 * 3 = 60 $.
2. Principio aditivo¶
En este caso, en vez de multiplicarse las alternativas para cada evento, lo que sucede es que se suman las varias formas en las que pueden ocurrir.Esto quiere decir que si la primera actividad puede ocurrir de $A$ formas, la segunda de $B$ y la tercera $C$, entonces sería $A+B+C$.
Por ejemplo:
Queremos comprar chocolate, habiendo tres marcas en el supermercado: $A$, $B$ y $C$.
El chocolate $A$ se vende de tres sabores: negro, con leche y blanco, además de haber la opción sin o con azúcar para cada uno de ellos.
El chocolate $B$ se vende de tres sabores, negro, con leche o blanco, con la opción de tener o no avellanas y con o sin azúcar.
El chocolate $C$ se vende de tres sabores, negro, con leche y blanco, con opción de tener o no avellanas, cacahuete, caramelo o almendras, pero todos con azúcar.
En base a esto, la pregunta que se pretende responder es: ¿cuantas variedades distintas de chocolate se pueden comprar?
$$A = 3 * 2 = 6$$ $$B = 3 * 2 * 2 = 12$$ $$C = 3 * 5 = 15$$ $$A + B + C = 6 + 12 + 15 = 33$$
Nota: Para saber si se debe utilizar el principio multiplicativo o el aditivo, la pista principal es si la actividad en cuestión tiene una serie de pasos a realizarse, como era el caso del menú, o existen varias opciones, como es el caso del chocolate.
3. Permutaciones¶
Una permutación es un arreglo de varios elementos en la que es importante tener en cuenta su orden o posición.En la cual hay $n$ cantidad de elementos distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería $r$. Siendo su formula:
Ejemplo:
Hay un grupo de 10 personas y un asiento en el que pueden caber 5. De cuántas formas se pueden sentar? Recordemos que $n=10$ y $r=5$
import math
#Introducir n y r (recordar que n debe ser mayor a r)
n = 10
r = 5
#Sacar factoriales
factorial_n = math.factorial(n)
factorial_nr = math.factorial(n-r)
#Calcular permutación (queremos números enteros por eso usamos la división entera)
permutacion = factorial_n//factorial_nr
print('La cantidad de permutaciones son:',permutacion)
4. Permutaciones con repetición¶
Cuando se quiere saber el número de permutaciones en un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales, teniéndose en cuenta que $n$ son los elementos disponibles, algunos de ellos repetidos. Se seleccionan todos los elementos $n$ y su fórmula es:
Por ejemplo:
En un barco se pueden izar $3$ banderas rojas, $2$ amarillas y $5$ verdes. Cuántas señales diferentes se podrían hacer izando las $10$ banderas que se tienen?
import math
#Total de elementos
n = 10 #Total
var = [3,2,5] #Aquí se puede poner cuantos elementos diferentes tenga
#Calcular los factoriales
factorial = math.factorial(n)
factorial_var = 1
for elem in var:
factorial_var *= math.factorial(elem)
#Calcular la permutación con repetición
permutacion_rep = factorial//factorial_var
print("Permutaciones con repetición:",permutacion_rep)
Permutaciones con repetición: 2520
5. Combinaciones¶
Una combinación es un arreglo de varios elementos en la que no importa el orden o posición.En la cual hay $n$ cantidad de elementos distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería $k$. Siendo su formula:
import math
#Total de elementos
n = 10
k = 2
#Calcular los factoriales
factorial = math.factorial(n)
factorial_nk = math.factorial(n-k)
factorial_k = math.factorial(k)
#Calcular la permutación con repetición
combinacion = factorial//(factorial_nk*factorial_k)
print("Combinaciones resultantes:",combinacion)
Combinaciones resultantes: 45
Asignación de probabilidad¶
Para la asignación de probabilidad se debe cumplir dos requisitos básicos para la asignación de probabilidades.
REQUISITOS BÁSICOS PARA LA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre $0$ y $1$. Si $E_i$ denota el i-ésimo resultado del experimento y $P(E_i)$ su probabilidad, entonces este requisito se escribe como $0 \le P(E_i) \le 1$ para toda $i$
La suma de las probabilidades para todos los resultados del experimento debe ser igual a $1$. Para $n$ resultados, este requisito se escribe como $P(E_1) + P(E_2) + . . . + P(E_n) = 1$
Probabilidad clásica¶
Es una medida estadística que indica la probabilidad de que suceda un evento siendo apropiado cuando todos los resultados del experimento son igualmente posibles. Siendo igual al número de casos favorables de dicho evento dividido entre el número total de casos posibles. También se conoce como probabilidad teórica o probabilidad a priori.
Es un número entre 0 y 1. Cuanto más probable de que ocurra un evento, mayor será la probabilidad clásica, por contra, cuanto menos probable sea de que suceda un evento, menor será el valor de la probabilidad. No hace falta hacer ningún experimento para hallar la probabilidad clásica de un evento, sino que se trata de un cálculo teórico. Con fórmula:
Conocida como regla de Laplace (o ley de Laplace), pues fue el prestigioso matemático francés quien la propuso por primera vez en 1812 en su publicación de la Teoría analítica de las probabilidades.
Ejemplo:
Se lanza una moneda, el cual da dos resultados, es decir, cara y cruz, son igualmente probables. la probabilidad de observar una cara es $\frac12$ o $0.50$, también como $50\%$ de probabilidad de que sea cara.
Se arroja un dado. como es posible que cualquiera de los $6$ resultados es posible, a cada resultado se le asigna una probabilidad de $\frac16$. Si $P(1)$ denota la probabilidad de que un punto aparezca en la cara superior del dado, entonces $P(1) = 1/6$ y de misma manera hasta P(6). Observe que estas probabilidades satisfacen los dos requisitos básicos de las ecuaciones, ya que cada una es mayor o igual que cero y suman 1.
Probabilidad frecuencial¶
Siendo esta apropiada cuando los datos están disponibles para estimar la proporción del tiempo en que ocurrirá el resultado si el experimento se repite un gran número de veces. En esta probabilidad se primero se hace un experimento y a partir de los resultados se calcula la probabilidad de ocurrencia.
Ejemplo: Un estudio de los tiempos de espera en el departamento de rayos x para un hospital local. Un empleado registró el número de pacientes que esperan el servicio a las 9:00 a.m. durante 20 días sucesivos y obtuvo los resultados siguientes.
| Número de pacientes que esperan | Número de días que el resultado ocurrió |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 4 | 3 |
| Total 20 |
Según los estudios se puede ver que:
- En 2 de los 20 días, 0 pacientes esperaban por el servicio ($\frac 2{20}$)
- En 5 de los 20 días, 1 paciente esperaba por el servicio ($\frac 5{20}$)
- En 6 de los 20 días, 2 paciente esperaba por el servicio ($\frac 6{20}$) Y así sucesivamente se irá asignando.
4.2 Eventos y sus probabilidades¶
En la introducción de este capítulo se usó el término evento de manera muy parecida a como se utiliza en el lenguaje cotidiano. Luego, en la sección 4.1 se presentó el concepto de experimento y los resultados del experimento o puntos de la muestra correspondientes. Los puntos de la muestra y los eventos proporcionan la base del estudio de la probabilidad. Por consiguiente, ahora un evento. se define de manera formal en relación con los puntos de la muestra. Esta definición es la base para determinar la probabilidad de un evento.
Como ejemplo, retome el proyecto de KP&L y suponga que el gerente está interesado en el evento de que el proyecto completo se termine en 10 meses o menos. Al observar la tabla 4.3 se ve que seis puntos de la muestra —(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7) y (4, 6) — proporcionan una duración de 10 meses o menos. C denota el evento de que el proyecto dure 10 meses o menos; escribimos
$$ \begin{align*} C = \{(2,2), (2,7), (2,8), (3,3), (3,7), (4,6)\} \end{align*} $$
Se dice que el evento C ocurre si cualquiera de estos seis puntos de la muestra aparece como el resultado experimental.
Con ayuda de la información de la tabla 4.3, vemos que estos eventos constan de los puntos de la muestra siguientes: $$ \begin{align*} L = \{(2, 6), (2, 7), (3, 6)\} \end{align*} $$ $$ \begin{align*} M = \{(3, 8), (4, 7), (4, 8)\} \end{align*} $$ Una variedad de eventos adicionales puede definirse para el proyecto de KP&L, pero en cada caso el evento debe identificarse como una colección de puntos de la muestra para el experimento.
Dadas las probabilidades de los puntos de la muestra mostrados en la tabla 4.3, podemos utilizar la definición siguiente para calcular la probabilidad de cualquier evento que la gerencia de KP&L podría desear considerar.
La probabilidad de cualquier evento es igual a la suma de las probabilidades de los puntos de la muestra del evento.
$$ \begin{align*} P(C)= \ P(2, 6) + P(2, 7) + P(2, 8) + P(3, 6) + P(3, 7) + P(4, 6)\ \end{align*} $$ Revisando las probabilidades de los puntos de la muestra de la tabla 4.3 tenemos $$ \begin{align*} P(C) = \ 0.15 + 0.15 + 0.05 + 0.10 + 0.20 + 0.05 = 0.70\ \end{align*} $$ De modo parecido, debido a que el evento de que el proyecto se complete en menos de 10 meses está dado por L = {(2, 6), (2, 7), (3, 6)}, la probabilidad de este evento está determinada por $$ \begin{align*} P(L) = P(2, 6) + P(2, 7) + P(3, 6) \end{align*} $$ $$ \begin{align*} = 0.15 + 0.15 + 0.10 0.40 \end{align*} $$ Por último, para el evento de que el proyecto se termine en más de 10 meses, tenemos M = {(3, 8), (4, 7), (4, 8)}, y por tanto $$ \begin{align*} P(M) = P(3, 8) + P(4, 7) + P(4, 8) \end{align*} $$ $$ \begin{align*} = 0.05 + 0.10 + 0.15 = 0.30 \end{align*} $$
Al utilizar estos resultados de la probabilidad, ahora es posible decir a la gerencia de KP&L que hay una probabilidad de 0.70 de que el proyecto se complete en 10 meses o menos, una probabilidad de 0.40 de que se complete en menos de 10 meses y una probabilidad de 0.30 de que concluya en más de 10 meses. Este procedimiento de cálculo de las probabilidades del evento puede repetirse para cualquier evento de interés para la gerencia de KP&L.
En cualquier momento se pueden identificar todos los puntos de la muestra de un experimento y asignar probabilidades a cada uno, y podemos calcular la probabilidad de un evento utilizando la definición. No obstante, en muchos experimentos un número grande de puntos de la muestra hace muy engorrosa, si no es que imposible, la identificación de estos puntos, así como la determinación de sus probabilidades asociadas. En las secciones restantes de este capítulo se presentan algunas relaciones de probabilidad básicas que se usan para calcular la probabilidad de un evento sin conocimiento de todas las probabilidades de los puntos de la muestra
NOTAS Y COMENTARIOS
Ejercicios
Métodos
- Un experimento tiene cuatro resultados igualmente probables: $E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}$
a) ¿Cuál es la probabilidad de que $E_2O$ ocurra?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que cualesquiera de los dos resultados ocurran (por ejemplo,
$E_1$ o $E_3$)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que cualesquiera de los tres resultados ocurran (por ejemplo, $E_1$ o $E_2$ o $E_4$)?
# Definimos los resultados
resultados = ['E1', 'E2', 'E3', 'E4']
# a) ¿Cuál es la probabilidad de que E2 ocurra?
prob_E2 = 1 / len(resultados)
# b) ¿Cuál es la probabilidad de que cualesquiera de los dos resultados ocurran (por ejemplo, E1 o E3)?
prob_E1_o_E3 = 2 / len(resultados)
# c) ¿Cuál es la probabilidad de que cualesquiera de los tres resultados ocurran (por ejemplo, E1 o E2 o E4)?
prob_E1_o_E2_o_E4 = 3 / len(resultados)
print(f"a) La probabilidad de que E2 ocurra es: {prob_E2}")
print(f"b) La probabilidad de que E1 o E3 ocurran es: {prob_E1_o_E3}")
print(f"c) La probabilidad de que E1, E2 o E4 ocurran es: {prob_E1_o_E2_o_E4}")
a) La probabilidad de que E2 ocurra es: 0.25 b) La probabilidad de que E1 o E3 ocurran es: 0.5 c) La probabilidad de que E1, E2 o E4 ocurran es: 0.75
- Considere el experimento de seleccionar una carta de una baraja de 52 cartas. Cada carta corresponde a un punto muestral con una probabilidad de 1/52.
a) Elabore una lista de los puntos de la muestra en el evento de seleccionar un as.
b) Liste los puntos de la muestra en el evento de elegir una carta de bastos.
c) Elabore una lista de los puntos de la muestra en el evento de seleccionar una figura (jota,
reina o rey).
d) Calcule las probabilidades asociadas con cada uno de los eventos de los incisos a), b) y c).
# Definimos las cartas
cartas = ['A', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9', '10', 'J', 'Q', 'K']
palos = ['corazones', 'diamantes', 'tréboles', 'picas']
# Creamos la baraja
baraja = [(carta, palo) for carta in cartas for palo in palos]
# a) Puntos de muestra al seleccionar un as
as_cartas = [(carta, palo) for carta, palo in baraja if carta == 'A']
prob_as = len(as_cartas) / len(baraja)
#b) Puntos de muestra al seleccionar una carta de bastos
# Nota: Reemplaza 'picas' con el palo correspondiente a "bastos"
bastos_cartas = [(carta, palo) for carta, palo in baraja if palo == 'picas']
prob_bastos = len(bastos_cartas) / len(baraja)
#c) Puntos de muestra al seleccionar una figura (jota, reina o rey)
figura_cartas = [(carta, palo) for carta, palo in baraja if carta in ['J', 'Q', 'K']]
prob_figura = len(figura_cartas) / len(baraja)
print(f"inciso a) ")
print(f"a) Puntos de muestra al seleccionar un as: {as_cartas}, Probabilidad: {prob_as}")
print(f"inciso b) ")
print(f"b) Puntos de muestra al seleccionar una carta de bastos: {bastos_cartas}, Probabilidad: {prob_bastos}")
print(f"inciso c) ")
print(f"c) Puntos de muestra al seleccionar una figura: {figura_cartas}, Probabilidad: {prob_figura}")
#d) Calculamos las probabilidades asociadas con cada uno de los eventos de los incisos a), b) y c)
print(f"inciso d) ")
print(f"a) Probabilidad de seleccionar un as: {prob_as}")
print(f"b) Probabilidad de seleccionar una carta de bastos: {prob_bastos}")
print(f"c) Probabilidad de seleccionar una figura: {prob_figura}")
inciso a)
a) Puntos de muestra al seleccionar un as: [('A', 'corazones'), ('A', 'diamantes'), ('A', 'tréboles'), ('A', 'picas')], Probabilidad: 0.07692307692307693
inciso b)
b) Puntos de muestra al seleccionar una carta de bastos: [('A', 'picas'), ('2', 'picas'), ('3', 'picas'), ('4', 'picas'), ('5', 'picas'), ('6', 'picas'), ('7', 'picas'), ('8', 'picas'), ('9', 'picas'), ('10', 'picas'), ('J', 'picas'), ('Q', 'picas'), ('K', 'picas')], Probabilidad: 0.25
inciso c)
c) Puntos de muestra al seleccionar una figura: [('J', 'corazones'), ('J', 'diamantes'), ('J', 'tréboles'), ('J', 'picas'), ('Q', 'corazones'), ('Q', 'diamantes'), ('Q', 'tréboles'), ('Q', 'picas'), ('K', 'corazones'), ('K', 'diamantes'), ('K', 'tréboles'), ('K', 'picas')], Probabilidad: 0.23076923076923078
inciso d)
a) Probabilidad de seleccionar un as: 0.07692307692307693
b) Probabilidad de seleccionar una carta de bastos: 0.25
c) Probabilidad de seleccionar una figura: 0.23076923076923078
- Considere el experimento de arrojar un par de dados. Suponga que le interesa la suma de los
valores de las caras mostradas en el dado.
a) ¿Cuántos puntos de la muestra son posibles? (Sugerencia: utilice la regla de conteo para los experimentos de pasos múltiples.)
b) Elabore una lista de los puntos de la muestra.
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor de 7?
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor de 9 o mayor?
e) Debido a que cada tiro tiene seis valores pares de eventos posibles (2, 4, 6, 8, 10 y 12) y sólo cinco valores impares posibles (3, 5, 7, 9 y 11), el dado debe mostrar más a menudo valores pares que impares. ¿Está usted de acuerdo con este enunciado? Explique.
f) ¿Qué método utilizó para asignar las probabilidades requeridas?
# Definimos los valores de los dados
dados = list(range(1, 7))
# Creamos los puntos de la muestra
puntos_muestra = [(dado1, dado2) for dado1 in dados for dado2 in dados]
# a) ¿Cuántos puntos de la muestra son posibles?
num_puntos_muestra = len(puntos_muestra)
# b) Elaboramos una lista de los puntos de la muestra
lista_puntos_muestra = puntos_muestra
# c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor de 7?
eventos_7 = [(dado1, dado2) for dado1, dado2 in puntos_muestra if dado1 + dado2 == 7]
prob_7 = len(eventos_7) / num_puntos_muestra
# d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor de 9 o mayor?
eventos_9_o_mas = [(dado1, dado2) for dado1, dado2 in puntos_muestra if dado1 + dado2 >= 9]
prob_9_o_mas = len(eventos_9_o_mas) / num_puntos_muestra
# e) Debido a que cada tiro tiene seis valores pares de eventos posibles (2, 4, 6, 8, 10 y 12) y
# sólo cinco valores impares posibles (3, 5, 7, 9 y 11), el dado debe mostrar más a menudo
# valores pares que impares. ¿Está usted de acuerdo con este enunciado? Explique.
eventos_pares = [(dado1, dado2) for dado1, dado2 in puntos_muestra if (dado1 + dado2) % 2 == 0]
eventos_impares = [(dado1, dado2) for dado1, dado2 in puntos_muestra if (dado1 + dado2) % 2 != 0]
mas_pares_que_impares = len(eventos_pares) > len(eventos_impares)
# f) ¿Qué método utilizó para asignar las probabilidades requeridas?
# Utilicé la definición clásica de probabilidad, que es el número de eventos favorables dividido por el número de eventos posibles.
print(f"a) Número de puntos de la muestra posibles: {num_puntos_muestra}")
print(f"b) Lista de puntos de la muestra: {lista_puntos_muestra}")
print(f"c) Probabilidad de obtener un valor de 7: {prob_7}")
print(f"d) Probabilidad de obtener un valor de 9 o mayor: {prob_9_o_mas}")
print(f"e) ¿El dado muestra más a menudo valores pares que impares?: {'Sí' if mas_pares_que_impares else 'No'}")
print(f"f) ¿Qué método utilizó para asignar las probabilidades requeridas? Utilicé la definición clásica de probabilidad, que es el número de eventos favorables dividido por el número de eventos posibles.")
a) Número de puntos de la muestra posibles: 36 b) Lista de puntos de la muestra: [(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)] c) Probabilidad de obtener un valor de 7: 0.16666666666666666 d) Probabilidad de obtener un valor de 9 o mayor: 0.2777777777777778 e) ¿El dado muestra más a menudo valores pares que impares?: No f) ¿Qué método utilizó para asignar las probabilidades requeridas? Utilicé la definición clásica de probabilidad, que es el número de eventos favorables dividido por el número de eventos posibles.
4.3 Algunas relaciones básicas de probabilidad¶
Complemento de un evento¶
Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de todos los puntos de la muestra que no están en A. El complemento de A se denota por medio de Ac. La figura 4.4 es un diagrama, conocido como diagrama de Venn, el cual ilustra el concepto de complemento. El área rectangular representa el espacio muestral para el experimento y como tal contiene todos los puntos de la muestra posibles. El círculo representa el evento A y contiene sólo los puntos de la muestra que pertenecen a A. La región sombreada del rectángulo contiene todos los puntos de la muestra que no están en el evento A y es por definición el complemento de A. En cualquier probabilidad de aplicación debe ocurrir cualquier evento A o su complemento $A^c$. Por consiguiente, tenemos $$ P(A) = P(A ^ c) = 1 $$
Al calcular $P(A)$, se obtiene el resultado siguiente.
$$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 0.80 = 0.20$$
Ley de la adición¶
La ley de la adición es útil cuando interesa conocer la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos. Es decir, con los eventos A y B nos interesa conocer la probabilidad de que ocurra el evento $A$ o el evento $B$, o ambos. Antes de presentar la ley de la adición, debemos estudiar dos conceptos relacionados con la combinación de eventos: la unión de eventos y la intersección de eventos. Dados dos eventos $A$ y $B$, la unión de $A$ y $B$ se define como sigue.
Figura 4.1 Unión de los eventos A y B
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn2
# Datos de ejemplo
A = {1,2,3,4,5}
B = {4,5,6,7,8}
union = A.union(B)
color = 'lightgreen'
venn_diagram = venn2([A,B], set_labels=('A', 'B'), set_colors=(color, color))
venn_diagram.get_label_by_id('10').set_text('')
venn_diagram.get_label_by_id('01').set_text('')
venn_diagram.get_label_by_id('11').set_text('AUB')
plt.show()
El diagrama de Venn que representa la intersección de los eventos A y B se muestra en la figura 4.6. El área donde los dos círculos se traslapan es la intersección; contiene los puntos de la muestra que están tanto en A como en B. Ahora se estudiará la ley de la adición. La ley de la adición proporciona una manera de calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B o ambos. En otras palabras, la ley de la adición se utiliza para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos. La ley de la adición se escribe como sigue.
Figura 4.2 Intersección de los eventos A y B
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn2
# Datos de ejemplo
A = {1,2,3,4,5}
B = {4,5,6,7,8}
intersection = A.intersection(B)
color = 'lightgreen'
venn_diagram = venn2([A,B], set_labels=('A', 'B'), set_colors=(color, color))
venn_diagram.get_label_by_id('10').set_text('')
venn_diagram.get_label_by_id('01').set_text('')
venn_diagram.get_label_by_id('11').set_text('A∩B')
plt.show()
Para entender de manera intuitiva la ley de la adición, considere que los dos primeros términos de la ley, $P(A) + P(B)$, representan todos los puntos de la muestra en $A ∪ B$. Sin embargo, debido a que los puntos de la muestra en la intersección $A ∩ B$ están en $A$ y en $B$, cuando se calcula $P(A) + P(B)$, en realidad se están contando dos veces cada uno de los puntos de la muestra en $A ∩ B$. Este conteo excesivo se corrige al restar $P(A ∩ B)$.
Ejemplo 1: Ley de la Adición¶
Considere el caso de una pequeña planta de ensamble con 50 empleados. Se espera que cada trabajador complete las asignaciones de trabajo a tiempo y de tal manera que el producto ensamblado apruebe la inspección final. De vez en cuando, algunos trabajadores no cumplen con los estándares de desempeño, ya que terminan la tarea con atraso o ensamblan un producto defectuoso. Al final del periodo de evaluación del desempeño, el gerente de producción encontró que 5 de los 50 trabajadores terminaron el trabajo con atraso, 6 de los 50 ensamblaron un producto defectuoso y 2 de los 50 terminaron con atraso y ensamblaron un producto defectuoso.
Sean:
Ejemplo 2: Ley de la Adición¶
Considere un estudio reciente realizado por el jefe de personal de una importante firma desistemase. El estudio reveló que 30% de los empleados que dejaron la empresa en un plazo de dos años lo hiz principalmente porque se sentí insatisfecho con su sueldo, 20% se fue porque no estaba satisfecho c n el trabajo que se e asignó y 12% indicó insatisfacción tanto con su sueldo como con el trab jo asignado. ¿C ál es la probabilidad de que un empleado que deja la empresa en un plazo de dos años lo debido a su insatisfacción con el sueldo, a su insatisfacción con el trabajo asignado o a ambas cosas?
Sean:
Figura 4.3 Eventos mutuamente excluyentes
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn2
# Datos de ejemplo
A = {7, 8, 9, 10}
B = {11, 12, 13, 14}
fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 5))
color_a = 'lightgreen'
color_b = 'lightgreen'
venn_diagram = venn2([A,B], set_labels=('A', 'B'), set_colors=(color_a, color_b))
venn_diagram.get_label_by_id('10').set_text('')
venn_diagram.get_label_by_id('01').set_text('')
plt.show()
Aplicaciones¶
Ejercicio 1. La Oficina del Censo de Bolivia proporciona datos sobre el número de adultos jóvenes, entre 18 y 24 años, que viven en la casa de sus padres. Sean:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los dos adultos jóvenes seleccionados viva en casa de sus padres?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos adultos jóvenes vivan solos (ninguno vive en casa de sus padres)?
Solucion inciso a)
# Datos proporcionados
P_M = 0.56
P_F = 0.42
P_M_interseccion_F = 0.24
# Probabilidad de que un hombre joven viva en casa de sus padres
P_M_solo = P_M - P_M_interseccion_F
# Probabilidad de que una mujer joven viva en casa de sus padres
P_F_solo = P_F - P_M_interseccion_F
# Probabilidad de que al menos uno de los dos adultos jóvenes viva en casa de sus padres
P_al_menos_uno = P_M_solo + P_F_solo
# Imprimir los resultados
print(f"Probabilidad de que un hombre joven viva en casa de sus padres: {P_M_solo:.2f}")
print(f"Probabilidad de que una mujer joven viva en casa de sus padres: {P_F_solo:.2f}")
print(f"Probabilidad de que al menos uno de los dos adultos jóvenes viva en casa de sus padres: {P_al_menos_uno:.2f}")
Solucion inciso b)
# Datos proporcionados
P_M = 0.56
P_F = 0.42
P_M_interseccion_F = 0.24
# Probabilidad de que ambos adultos jóvenes vivan en casa de sus padres
P_Ambos = P_M_interseccion_F
# Imprimir el resultado
print(f"Probabilidad de que ambos adultos jóvenes vivan en casa de sus padres: {P_Ambos:.2%}")
Probabilidad de que ambos adultos jóvenes vivan en casa de sus padres: 24.00%
4.4 Probabilidad Condicional¶
Se conoce como probabilidad condicional, a la probabilidad de un evento que es influenciado por el acontecimiento de otro evento relacionado. Dado un evento $A$ con su probabilidad independiente $P(A)$, un evento $B$ efectuado y relacionado a $A$. Podemos denotar a la nueva probabilidad o probabilidad condicional como $P(A|B)$. La denotación indica que se esta considetando la probabilidad del evento $A$ dada la condicion de que $B$ ha ocurrido. Que puede ser leido como: "la probailidad A dado B".
La probabilidad conjunta se define como la probabilidad de la intersección de dos eventos, es decir, la probabilidad de que dos eventos ocurran a la par.
La probabilidad marginal se rerfiere a las probabilidades de un evento independiente de otros eventos con los que tengan relación. Además de que la suma de todas la probablidades conjuntas respecto a un evnto dado nos da como resultado la probabilidad marginal del evento dado.
Ejercicio 1. Para entender mejor los distintos conceptos de probabilidad, podemos plantearnos la siguiente situación:
Imaginemos que en la facultad de Ciencias Puras Y Naturales de la UMSA, se tenga un registro sobre los nuevos estudiantes registrados en las diferentes carreras de la facultad.
La carrera de Informática es una carrera que cuenta con una cantidad considerable de estudiantes nuevos por año, a comparación de otras carreras de la facultad.
En el año x se registro que ingresaron 4120 nuevos estudiantes en la carrera de informática, donde 3100 estudiantes eran varones y 1020 mujeres.
Pero en las otras carreras se registraron 3580 nuevos estudiantes donde 1880 estudiantes eran varones y 1700 eran mujeres.
Consideremos los eventos: $ I =$ El evento en el que el estudiante estudiará la carrea de Informática
$ I^C = $El evento en el que el estudiante no estudiará la carrea de Informática
$ V =$ El evento en el que el estudiante es varón
$M =$ El evento en el que el estudiante es mujer
Tabla 4.5 Tabla de Probabilidad Conjunta sobre estudiantes nuevos
| Eventos | Varón (V) | Mujer (M) | Total |
|---|---|---|---|
| Estudiarán Informática $(I)$ | 3100 | 1020 | 4120 |
| No Estudiarán Informática $(I^C)$ | 1880 | 1700 | 3580 |
| Total | 4980 | 2720 | 7700 |
Donde con ayuda de la tabla 4.5 obtenemos las diferentes probabildades conjuntas sobre un estudiante nuevo:
$P(V \cap I) = \frac{3100}{7700} = 0,40 $ , probabilidad de que el estudiante sea varón y estudie informática
$P(V \cap I^C) = \frac{1880}{7700} = 0,25 $ , probabilidad de que el estudiante sea varón y no estudie informática
$P(M \cap I) = \frac{1020}{7700} = 0,13 $ , probabilidad de que el estudiante sea mujer y estudie informática
$P(M \cap I^C) = \frac{1700}{7700} = 0,22 $ , probabilidad de que el estudiante sea mujer y no estudie informática
Aunque también podemos calcular las probabilidades marginales:
$P(I) = \frac{4120}{7700} = 0,54 $ , probabilidad de que el estudiante sea varón y estudie informática
$P(I^C) = \frac{3580}{7700} = 0,46 $ , probabilidad de que el estudiante sea varón y no estudie informática
$P(V) = \frac{4980}{7700} = 0,65 $ , probabilidad de que el estudiante sea mujer y estudie informática
$P(M) = \frac{2720}{7700} = 0,35 $ , probabilidad de que el estudiante sea mujer y no estudie informática
Con un análisis de la probabilidad condicional: Dado un evento $A$ con $P(A)$ y un evento $B$ ya ocurrido, conociendo la probabilidad del evento $A$ conjunto $B$ o $P(A\cap B)$,podemos calcular la probabilidad de un evento $A$ dado $B$:
Con el siguiente diagrama de Venn podemos tener una percepcion mas intuitiva sobre la conjuncion de eventos y la probabilidad de los mismos, y su cálculo:
Figura 4.8 Probabilidad Condicional P(A | B) = P(A $\cap$ B)/ P(B)
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn2
# Datos de ejemplo
A = {1,2,3,4,5}
B = {4,5,6,7,8}
intersection = A.intersection(B)
color_a = 'lightgreen'
color_b = 'lightgreen'
venn_diagram = venn2([A,B], set_labels=('Evento A', 'Evento B'), set_colors=(color_a, color_b))
venn_diagram.get_label_by_id('10').set_text('P ( A )')
venn_diagram.get_label_by_id('01').set_text('P ( B )')
venn_diagram.get_label_by_id('11').set_text('P ( A∩B )')
plt.show()
Ejemplo: Si seguimos tomando en cuenta la situacion planteada gracias a la tabla 4.5 y con ayuda de la fórmulas 4.7 y 4.8 podemos calcular algunas de las probabilidades condicionales:
$P(I|V) =\frac{\frac{3100}{7700}}{\frac{4980}{7700}} = \frac{3100}{4980} = 0,62 $ , probabilidad de que un estudiante varón estudie informática
$P(I|M) =\frac{\frac{1020}{7700}}{\frac{2720}{7700}} = \frac{1020}{2720} = 0,38 $ , probabilidad de que un estudiante mujer estudie informática
$P(I^C|V) =\frac{\frac{1880}{7700}}{\frac{4980}{7700}} = \frac{1880}{4980} = 0,38 $ , probabilidad de que un estudiante varón no estudie informática
$P(I^C|M) =\frac{\frac{1700}{7700}}{\frac{2720}{7700}} = \frac{1700}{2720} = 0,62 $ , probabilidad de que un estudiante mujer no estudie informática
$P(V|I) =\frac{\frac{3100}{7700}}{\frac{4120}{7700}} = \frac{3100}{4120} = 0,75 $ , probabilidad de que un estudiante de informática sea varon
$P(M|I) =\frac{\frac{1020}{7700}}{\frac{4120}{7700}} = \frac{1020}{4120} = 0,25 $ , probabilidad de que un estudiante de informática sea mujer
$P(V|I^C) =\frac{\frac{1880}{7700}}{\frac{3580}{7700}} =\frac{1880}{3580} = 0,53 $ , probabilidad de que un estudiante que no es de informática sea varon
$P(M|I^C) =\frac{\frac{1700}{7700}}{\frac{3580}{7700}} = \frac{1700}{3580} = 0,47 $ , probabilidad de que un estudiante que no es de informática sea mujer
Cabe recalcar equellas diferencias entre la preposicion verbal de las probabilidades respecto a las otras , es decir , no es lo mismo expresar "la probabilidad de que un estudiante varón estudie informática" y "la probabilidad de que un estudiante sea varon y estudie informática"
Eventos independientes¶
Al momento de calcular la probabilidad condicional de un evento $A$
dado $B$, hay casos donde la probabilidad marginal de $A$ o $P(A)$ se
ve alterada o influenciada por el suceso del evento $B$, por lo que
$P(A)\neq P(A\cap B)$, en este caso podemos decir que los eventos $A$ y
$B$ son eventos dependientes.
Pero en caso de la probabilidad de $A$ no se vea influenciado por $B$,
podemos decir que los eventos $A$ y $B$ son eventos independientes.
caso contrario, los eventos son dependientes.
Ley de la multiplicación¶
Es utilizada para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos.
Esta ley se apoya con el concepto de la probabilidad condicional.
EJEMPLO: Si volvmos a tomar en cuenta la situacion planteada por la tabla 4.5 y usando las fórmulas 4.11 y 4.12 podemos calcular la probabilidades conjuntas:
$P(V\cap I) = {\frac{4120}{7700}}\cdot{\frac{3100}{4120}} = \frac{3100}{7700}= 0,40 $
$P(V\cap I) = {\frac{4980}{7700}}\cdot{\frac{3100}{4980}} = \frac{3100}{7700}= 0,40 $
$P(M\cap I) = {\frac{4120}{7700}}\cdot{\frac{1020}{4120}} = \frac{1020}{7700}= 0,13 $
$P(M\cap I) = {\frac{2720}{7700}}\cdot{\frac{1020}{2720}} = \frac{1020}{7700}= 0,13 $
$P(V\cap I^C) = {\frac{3580}{7700}}\cdot{\frac{1880}{3580}} = \frac{1880}{7700}= 0,25 $
$P(V\cap I^C) = {\frac{4980}{7700}}\cdot{\frac{1880}{4980}} = \frac{1880}{7700}= 0,25 $
$P(M\cap I^C) = {\frac{3580}{7700}}\cdot{\frac{1700}{3580}} = \frac{1700}{7700}=0,22 $
$P(M\cap I^C) = {\frac{2720}{7700}}\cdot{\frac{1700}{2720}} = \frac{1700}{7700}=0,22 $
Y comprobando los resultados nos damos cuentaque los calculos son correctos, aunque es de esperarse debido a que la ley de la multiplicación es una ecuacion despejada sobre la ecuacion de la probabilidad condicional.
También es importante indicar un caso especial sobre la ley de la multiplicación, que consiste en la indepedencia de los eventos involucrados entre sí, lo que indicaria que las probabilidades condicionales tendrian el valor de su probabilidad marginal, es decir $P(A|B) = P(A)$ o $P(B|A) = P(B)$, por lo tanto la ley de la multiplicación en este caso tendría el siguiente cambio.
4.5 Teorema de bayes¶
Definición¶
El teorema de Bayes es una fórmula matemática que describe cómo se actualizan las probabilidades de una hipótesis en función de nueva evidencia.
En términos simples, el teorema de Bayes establece cómo se deben ajustar las probabilidades de eventos o hipótesis a la luz de una nueva . La forma general del teorema de Bayes se expresa como:
from IPython.display import YouTubeVideo
print('Teorema de Bayes - Probabilidades - Ejercicios Resueltos')
ruta_video = YouTubeVideo('CP4ToX5Tyvw')
display(ruta_video)
Teorema de Bayes - Probabilidades - Ejercicios Resueltos
from IPython.display import YouTubeVideo
print('Introducción a la teoría de Bayes')
ruta_video = YouTubeVideo('bDfCURXoKkU')
display(ruta_video)
Introducción a la teoría de Bayes
Ejercicio 1. Considere una tienda de barrio que recibe gaseosas de dos distribuidoras diferentes. Sea A1 el evento de que un paquete proviene de la distribuidora 1, y A2 el evento de que un paquete proiene de la distribuidora 2. En la actualidad, 65% de las partes adquiridas por la tienda de barrio son de la distribuidora 1 y el 35% restante son de la distribuidora 2. De ahí que si un paquete es seleccionado al azar, se le asignarían las probabilidades previas $P(A1)=0.65$ y $P(A2)=0.35$
Tabla 3.15 Titulo de la Tabla
| Refacciones en buen estado (porcentaje) | Refacciones en mal estado (porcentaje) | |
|---|---|---|
| Distribuidora 1 | 98 | 2 |
| Distribuidora 2 | 95 | 5 |
Si $G$ denota el evento de que una refacción está en buen estado y $B$ denota el evento de que una refacción está en mal estado, la información de la tabla anterior proporciona los valores de probabilidad condicional siguientes.
$$P(G|A_1)=0.98 P(B|A_1)=0.02$$ $$P(G|A_2)=0.95 P(B|A_2)=0.05$$
Partiendo de que $B$ denota el evento de que la refaccion se encuentra en mal estado, se buscan las probabilidades posteriores $P(A_1|B)$ y $P(A_2|B)$. A partir de la let de la probabilidad condicional sabemos que:
Si nos remitimos al arbol de probabilidades, obtenemos: $$P(A_1 \cap B)=P(A_1)P(B|A_1) (\alpha)$$ La probabilidad del resultado es: $$P(A_1 \cap G)=P(A_1)P(G|A_1)=0.6370$$ $$P(A_1 \cap B)=P(A_1)P(B|A_1)=0.0130$$ $$P(A_2 \cap G)=P(A_2)P(G|A_2)=0.3325$$ $$P(A_2 \cap B)=P(A_2)P(B|A_2)=0.0175$$ Para obtener $P(B)$ notemos que el evento $B$ puede ocurrir de dos maneras diferentes: $A_1\cap B$ $A_2$. Por lo tanto: $$P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)$$ $$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2) (\gamma)$$
Reemplazando $(\alpha)$ y $(\gamma)$ en $(\star)$ obtenemos: $$P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n)}$$ Utilizando la formula anterior hallaremos los valores requeridos: $$P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}=0.4262$$
$$P(A_2|B)=\frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}=0.5738$$
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import scipy.stats as st
def AiIB(pai, pai2, b, b2):
return (pai * b) / ((pai * b) + (pai2 * b2))
# Datos del ejercicio
pa1, pa2 = 0.65, 0.35
pg1, pg2 = 0.98, 0.95
pb1, pb2 = 0.02, 0.05
# Crear un DataFrame con los datos del ejercicio
df = pd.DataFrame({
'pa': [pa1, pa2],
'pg': [pg1, pg2],
'pb': [pb1, pb2]
}, index=['A1', 'A2'])
# Calculamos las probabilidades de Ai ∩ Gi usando la regla del producto
p_ag = df['pa'] * df['pg']
# Calculamos las probabilidades de Ai ∩ Bi usando la regla del producto
p_ab = df['pa'] * df['pb']
# Calculamos las probabilidades de Ai | Bi usando la función AiIB
p_a_b = np.array([round(AiIB(pa1, pa2, pb1, pb2), 4), round(AiIB(pa2, pa1, pb2, pb1), 4)])
# Creamos una figura con tres subgráficos
fig, ax = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4))
# Agregamos los datos obtenidos a nuestro DataFrame
df['p_ag'] = p_ag
df['p_ab'] = p_ab
df['p_a_b'] = p_a_b
# Graficamos las probabilidades de Ai ∩ Gi como un gráfico de barras con bordes negros
ax[0].bar(['A1 ∩ G', 'A2 ∩ G'], p_ag, color=['#5CCB5f', '#5CCB5f'], edgecolor='black')
ax[0].set_ylabel('Probabilidad')
ax[0].set_title('Probabilidades de Ai ∩ Gi')
# Graficamos las probabilidades de Ai ∩ Bi como un gráfico de barras con bordes negros
ax[1].bar(['A1 ∩ B', 'A2 ∩ B'], p_ab, color=['#5CCB5f', '#5CCB5f'], edgecolor='black')
ax[1].set_ylabel('Probabilidad')
ax[1].set_title('Probabilidades de Ai ∩ Bi')
# Graficamos las probabilidades de Ai | Bi como un gráfico de pastel con bordes negros
ax[2].pie(p_a_b, labels=['A1 | B', 'A2 | B'], colors=['#5ccb5f', '#98f84a'], autopct='%1.2f%%', wedgeprops=dict(edgecolor='black'))
ax[2].set_title('Probabilidades de Ai | Bi')
# Mostrar la figura
print('\nDatos que el ejercicio nos brinda y hallados:')
display(df)
plt.tight_layout(pad=2)
plt.show()
Datos que el ejercicio nos brinda y hallados:
| pa | pg | pb | p_ag | p_ab | p_a_b | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A1 | 0.65 | 0.98 | 0.02 | 0.6370 | 0.0130 | 0.4262 |
| A2 | 0.35 | 0.95 | 0.05 | 0.3325 | 0.0175 | 0.5738 |
Método Tabular¶
Este metodo es util para realizar calculos del teorema de Bayes. Para realizar la utilizacion de este metodo, debemos seguir una serie de pasos:
- Crear 3 columnas, la primera para los eventos, la segunda para las probabilidades previas, la tercera para las probabilidades condicionales.
- en la cuarta columna colocamos las probabilidades conjuntas y mostrar P(B)
- Sumamos los valores de la columna 4, cada una debe estar dividida entre P(B)
Utilizando este metodo en el ejercicio anterior obtenemos:
Tabla 4.7 Método tabular de los cálculos del teorema de Bayes para el problema de los dos proveedores
| Eventos | Probabilidades previas | Probabilidades condicionales | Probabilidades Conjuntas | Probabilidades Posteriores |
|---|---|---|---|---|
| Distribuidora 1 | 0.65 | 0.02 | 0.0130 | 0.4262 |
| Distribuidora 2 | 0.35 | 0.05 | 0.0175 | 0.5738 |
| 1.00 | P(B)=0.0305 | 1.000 |
Ejercicio 1. Considere una libreria que recibe libros de tres editoriales diferentes. Sea A1 el evento de que un libro proviene de la editorial 1, A2 el evento de que un libro proviene de la editorial 2 y A3 el evento de que un libro proviene de la editorial 3. En la actualidad, 50% de los libros adquiridos por la libreria son de la editorial 1, 30% son de la editorial 2 y 20% son de la editorial 3. De ahí que si un libro es seleccionado al azar, se le asignarían las probabilidades previas $P(A1)=0.5$, $P(A2)=0.3$ y $P(A3)=0.2$.
Tabla 3.15 Titulo de la Tabla
| Libros con graficos (porcentaje) | Libros sin graficos (porcentaje) | |
|---|---|---|
| Editorial 1 | 99 | 1 |
| Editorial 2 | 96 | 4 |
| Editorial 3 | 92 | 8 |
Si $G$ denota el evento de que un libro tiene graficos y $F$ denota el evento de que un libro no tiene graficos, la información de la tabla anterior proporciona los valores de probabilidad condicional siguientes.
$$P(G|A_1)=0.99 P(F|A_1)=0.01$$ $$P(G|A_2)=0.96 P(F|A_2)=0.04$$ $$P(G|A_3)=0.92 P(F|A_3)=0.08$$
Partiendo de que $F$ denota el evento de que el paquete se encuentra en mal estado, se buscan las probabilidades posteriores $P(A_1|F)$, $P(A_2|F)$ y $P(A_3|F)$.
La probabilidad del resultado es: $$P(A_1 \cap G)=P(A_1)P(G|A_1)=0.495$$ $$P(A_1 \cap F)=P(A_1)P(F|A_1)=0.005$$ $$P(A_2 \cap G)=P(A_2)P(G|A_2)=0.288$$ $$P(A_2 \cap F)=P(A_2)P(F|A_2)=0.012$$ $$P(A_3 \cap G)=P(A_3)P(G|A_3)=0.184$$ $$P(A_3 \cap F)=P(A_3)P(F|A_3)=0.016$$ Para obtener $P(F)$ notemos que el evento $F$ puede ocurrir de dos maneras diferentes: $A_1\cap F$ $A_2$. Por lo tanto: $$P(F)=P(A_1\cap F)+P(A_2\cap F)+P(A_3\cap F)$$ $$P(F)=P(A_1)P(F|A_1)+P(A_2)P(F|A_2) +P(A_3)P(F|A_3)(\gamma)$$
Utilizando la formula necesaria hallaremos los valores requeridos: $$P(A_1|F)=\frac{P(A_1)P(F|A_1)}{P(A_1)P(F|A_1)+P(A_2)P(F|A_2)+P(A_3)P(F|A_3)}=0.1515$$
$$P(A_2|F)=\frac{P(A_2)P(F|A_2)}{P(A_1)P(F|A_1)+P(A_2)P(F|A_2)+P(A_3)P(F|A_3)}=0.3636$$
$$P(A_3|F)=\frac{P(A_3)P(F|A_3)}{P(A_1)P(F|A_1)+P(A_2)P(F|A_2)+P(A_3)P(F|A_3)}=0.4848$$
import numpy as np
import scipy.stats as st
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd # Importar pandas
def AiIB(pai, pai2, pai3, b, b2, b3):
return ((pai * b) + (pai2 * b2) + (pai3 * b3)) / ((pai * b) + (pai2 * b2) + (pai3 * b3) + (1 - pai - pai2 - pai3) * 0.1)
# Datos del ejercicio
pa = np.array([0.5, 0.3, 0.2]) # Estas son las probabilidades de elegir un paquete al azar de A1, A2 y A3
pg = np.array([0.99, 0.96, 0.92]) # Estas son las probabilidades de que el libro tenga graficos de A1, A2 y A3
pb = np.array([0.01, 0.04, 0.08]) # Estas son las probabilidades de que el libro no tenga graficos de A1, A2 y A3
# Definir pa3
pa3 = 1 - pa.sum()
# Crear un DataFrame con los datos del ejercicio
df = pd.DataFrame({'pa': pa, 'pg': pg, 'pb': pb}, index=['A1', 'A2', 'A3'])
# Calculamos las probabilidades de Ai ∩ Gi usando la regla del producto
p_ag = df['pa'] * df['pg']
# Calculamos las probabilidades de Ai ∩ Bi usando la regla del producto
p_ab = df['pa'] * df['pb']
# Calculamos las probabilidades de Ai | Bi usando la regla de Bayes
p_a_b = np.array([round(AiIB(pa[0], pa[1], pa[2], pb[0], pb[1], pb[2]), 4),
round(AiIB(pa[1], pa[0], pa[2], pb[1], pb[0], pb[2]), 4),
round(AiIB(pa[2], pa[0], pa[1], pb[2], pb[0], pb[1]), 4)])
# Creamos una figura con tres subgráficos
fig, ax = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4))
# Agregamos los datos obtenidos a nuestro DataFrame
df['p_ag'] = p_ag
df['p_ab'] = p_ab
df['p_a_b'] = p_a_b
# Graficamos las probabilidades de Ai ∩ Gi como un gráfico de barras con bordes negros
ax[0].bar(['A1 ∩ G', 'A2 ∩ G', 'A3 ∩ G'], p_ag, color=['#5ccb5f', '#5ccb5f', '#5ccb5f'], edgecolor='black')
ax[0].set_ylabel('Probabilidad')
ax[0].set_title('Probabilidades de Ai ∩ Gi')
# Graficamos las probabilidades de Ai ∩ Bi como un gráfico de barras con bordes negros
ax[1].bar(['A1 ∩ B', 'A2 ∩ B', 'A3 ∩ B'], p_ab, color=['#5ccb5f', '#5ccb5f', '#5ccb5f'], edgecolor='black')
ax[1].set_ylabel('Probabilidad')
ax[1].set_title('Probabilidades de Ai ∩ Bi')
# Graficamos las probabilidades de Ai | Bi como un gráfico de pastel
ax[2].pie(p_a_b, labels=['A1 | B', 'A2 | B', 'A3 | B'], colors=['#5ccb5f', '#98f84a', '#e1ffaf'], autopct='%1.2f%%', wedgeprops=dict(edgecolor='black'))
ax[2].set_title('Probabilidades de Ai | Bi')
# Mostrar la figura
print('\nDatos que el ejercicio nos brinda y hallados:')
display(df)
print()
plt.tight_layout(pad=2)
plt.show()
Datos que el ejercicio nos brinda y hallados:
| pa | pg | pb | p_ag | p_ab | p_a_b | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A1 | 0.5 | 0.99 | 0.01 | 0.495 | 0.005 | 1.0 |
| A2 | 0.3 | 0.96 | 0.04 | 0.288 | 0.012 | 1.0 |
| A3 | 0.2 | 0.92 | 0.08 | 0.184 | 0.016 | 1.0 |
Resolviendo por el metodo tabular:
Tabla 3.15 Titulo de la Tabla
| Eventos | Probabilidades Previas | Probabilidades Condicionales | Probabilidades Conjuntas | Probabilidades Posteriores |
|---|---|---|---|---|
| Editorial 1 | 0,5 | 0,01 | 0,005 | 0,1515 |
| Editorial 2 | 0,3 | 0,04 | 0,012 | 0,3636 |
| Editorial 3 | 0,2 | 0,08 | 0,016 | 0,4848 |
| 1,00 | P(B)=0,033 | 1,0000 aprox. |